Matematica e architettura

 


Si riportano una serie di articoli estratti  dai miei libri, riguardanti il rapporto tra matematica e architettura .

Biagio Di Carlo,  novembre 2014




















STRUTTURE E SCIENZA DEL DESIGN (Versione  italiana dell’articolo presentato per la prima volta a ‘DELFT SYMMETRY FESTIVAL, 2013, col titolo ‘DESIGN SCIENCE STRUCTURES’)


In questa sintesi  vengono presi  in considerazione  i solidi  Platonici e  Archimedei, le strutture geodetiche  di Fuller,  le strutture tensegrali di Kenneth Snelson  e le strutture reciproche di Leonardo  vista l’evidente affinita’ esistente tra queste 4 grandi famiglie strutturali.


I moduli spaziali relativi rappresentano la base di partenza per una corretta progettazione artistica e scientifica. Quando vengono rispettate le regole imposte dallo spazio alla micro-medio-macro scala allora siamo di fronte  al metodo  naturale  che caratterizza la scienza del design.


Scrive Leonardo da Vinci: ‘ Impara prima la pazienza e poi la scienza che proviene da essa pazienza, e poi l’arte che proviene da essa scienza e da essa pazienza”


Come la grammatica della musica consiste di armonia, forma e contrappunto, cosi’ le strutture spaziali hanno una propria grammatica che consiste di: simmetria, proporzioni, connettivita, stabilita’, ottimizzazione della forma.  Lo spazio non e’ un vuoto passivo ma esibisce delle proprieta’ che confinano e definiscono tutte le strutture che lo abitano. (Arthur Loeb).


Lo spazio e’ quindi non un grosso nulla ma un grosso tutto. 


La SCIENZA DEL DESIGN racchiude questa grammatica nel senso largo  e inizia   a svilupparsi solo da poco perche’ in precedenza i cristallografi, gli architetti, i matematici , gli artisti visivi e i coreografi hanno lavorato in direzioni diverse, su scale diverse e con una varieta’ di idiomi  che rendeva difficile l’interazione  tra le varie discipline . 


In un mondo finito e con risorse limitate come il nostro,  la chiave per la sostenibilita’ e’ capire come fare per ottenere il piu’ col meno.


La SCIENZA del DESIGN considera l’universo e il mondo naturale come la base di riferimento  ideale per una progettazione di successo. I principi generalizzati accumulati,  applicati in modo innovativo, hanno prodotto artefatti che hanno trasformato  e migliorato gradualmente l’ambiente fisico.  In questo consiste  la chiave di successo per tutta l’umanita’ a bordo della ‘SPACESHIP EARTH’ la nostra ‘NAVE SPAZIALE TERRA’.



Il termine ‘Design Science’ e’ stato introdotto nel 1963 da  R. B.  Fuller  anche se in precedenza Leonardo Da Vinci  ha trattato  di  arte nella scienza e scienza nell’arte nelle sue opere.


La Scienza del Design puo’ essere considerata come il ponte

geometrico tra arte e scienza.  La geometria diventa intermediaria tra armonia ed unita’ del mondo naturale. La geometria non e’ invenzione umana ma e’ creazione della natura:

l’uomo l’ha appresa dalla natura stessa.



Platone suggeriva che per capire la natura dell’universo bisogna avere gli occhi nell’unita’ di tutte le cose ed immergersi nello studio della musica, astronomia, geometria e numero , il cosiddetto ‘Quadrivio’.





LA SEZIONE  AUREA

(Dal libro ‘Poliedri e sezione aurea’)


“ Quando affronto un problema  non penso mai alla bellezza ma penso a come risolverlo.  Terminato il lavoro, se la soluzione alla quale sono giunto non e’ bella  sono sicuro di avere commesso qualche errore”

R. B. Fuller (1895-1983)


In base a  Herbert Bangs (The return of Sacred Architecture’, 2007),  oggi gli architetti devono ritrovare le profonde connessioni col cosmo, le stesse che guidarono i progettisti del passato. La forma degli edifici deve riflettere gli schemi sacri della geometria e  delle proporzioni  per ritrovare una nuova armonia. I numeri e la geometria saranno compresi non come modi per rappresentare quantita’, ma come espressioni simboliche di una realta’ piu’ alta, per afferrare i principi che vanno oltre l’apparenza delle cose e per rivalutare le leggi dimenticate dell’armonia e della proporzione. Il significato trascendentale e spirituale della nostra esistenza materiale sara’ cosi’ espresso in un nuovo vocabolario comune di forme architettoniche.

Il numero e’ l’ente matematico che ci permette di rappresentare  il senso della quantita’ delle cose. Gia’ nel III secolo a.C.  in India era ben nota l’attuale forma di rappresentazione  con 10 cifre.  Intorno al VII – VIII secolo d.C I 10 numeri indu’ si diffondono nel mondo arabo e grazie agli scambi commerciali di quel periodo  vengono introdotti in Occidente da Leonardo il pisano  detto il Fibonacci  perche’ figlio di Bonacci, con la pubblicazione del suo trattato  ‘Liber Abaci’ del 976 d.C.

Per Pitagora di Samo (570-490 a.C. circa)  fondatore dell’aritmetica e ideatore della famosa Tavola Pitagorica,  il Numero e’ l’essenza di tutte le cose  e ha permesso di  organizzare il tutto.

Egli indico’ col termine ‘Cosmos’ l’universo nato dal caos e riorganizzato in  maniera ordinata. Inoltre considerava i numeri divisi in positivi e negativi, maschili e femminili, pari e dispari, ordinati e perfetti i numeri dispari,  caotici e disordinati i numeri pari.

Il Pitagorismo in quanto filosofia dualistica spiega la realta’ in base  a  diverse opposizioni fondamentali tra cui:  limite –infinito, destra-sinistra,   maschio –femmina,  bene-male, retta curva.

Questi opposti coesistono anche nell’antico simbolo del Tao in cui yin e yang formano un principio unico e  l’energia risultante e’ il movimento ed il continuo divenire tra le  due energie complementari e contrapposte fra loro.  Il Tao e’ I principio del mondo:  ogni cosa ha avuto origine dall’essere e l’essere ha avuto origine dal non essere.

Per Pitagora la convivenza degli opposti e’ regolata dai principi di armonia che trovano nei rapporti musicali la natura dell’armonia universale.  Sono di Pitagora  gli studi numerici sulla produzione dei suoni armonici della lira o in funzione della lunghezza delle corde.

La figura sacra considerata  da Pitagora era il  tetraktis, cioe’ il triangolo equilatero  di lato 4 punti formato da 10 punti complessivi, ottenuti sommando  I primi quattro numeri  1+2+3+4.   Il 10 era considerato numero perfetto.




NUMERO AUREO, RETTANGOLO AUREO E  SEGMENTO AUREO

Dopo aver disegnato un quadrato di lato unitario  si punta  il compasso   dal centro del lato di base  al vertice del quadrato  tracciando un arco che interseca  il prolungamento del lato unitario di base  nel punto che determina il lato maggiore  del rettangolo aureo.

Nasce cosi’ il rettangolo aureo  in cui il rapporto tra la base con l’altezza e’ pari ad 1,618.


Il numero aureo 1,618, e’ un numero irrazionale   indicato con  φ=phi  (ventunesima lettera dell’alfabeto greco)  dalle iniziali del  nome dello scultore  Fidia  le cui opere fanno  continuo  riferimento ai valori della sezione aurea.

A volte viene indicato anche con  T (tau).

Anche se poco conosciuto  ( per es. rispetto a pi greco) φ rappresenta il rapporto dimensionale che contribuisce a definire la bellezza  e la perfezione di tutto cio’ che ci circonda. Appare ripetutamente negli schemi di crescita naturali e la nostra percezione rivela una spiccata preferenza  per le sue proporzioni. Il suo valore reciproco  1/phi risulta essere 0,618 che curiosamente si puo’ ottenere anche dalla sottrazione  1-1,618 rivelando parti decimali identiche.  La sezione  aurea rappresenta un ‘canone’ di proporzioni osservabili nel mondo naturale e in molte opere dell’uomo.

Nel Rinascimento molti studiosi si interessarono ampiamente a φ che assunse varie denominazioni:  divina proporzione, sezione aurea, rapporto aureo, sectio  aurea .

La base del rettangolo aureo costituisce il segmento aureo  in cui  il tratto piu’ corto sta’ al tratto piu’ lungo come il tratto piu’ lungo sta’ al segmento intero.


Attualmente il rettangolo aureo puo’ essere osservato nelle carte di credito, nelle schede telefoniche e bancomat, nei formati delle cassette musicali, nelle carte da gioco, nel formato di alcuni libri e riviste.

I NUMERI DI FIBONACCI  1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 …..

Il valore del segmento aureo  φ=1,618,  puo’ essere ottenuto anche con I numeri di Fibonacci, una serie in cui ogni termine  si ottiene dalla somma dei due precedenti: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55….   Dividendo tra loro  2 numeri contigui nasce un valore che si stabilizza  intorno a 1,618  oppure al suo reciproco 0,618 a seconda   che si divida per es. 3 con 5  oppure 5 con 3.

Questa serie era gia’ nota agli antichi egizi e ai loro studenti greci.  Nel XIX° sec. Edouard Lucas (autore della serie omonima) la chiamo ‘La serie di Fibonacci’ dal nome di Leonardo da Pisa (1170-1250) .

…………..

Utilizzando la geometria dei poliedri rombici nel 1972 Steve Baer  ha costruito  a Corrales nel New Messico la sua  ormai storica casa solare  ‘zome’  basata sulle proprieta’ aggregative del dodecaedro rombico.   Dalla geometria delle zomes  e’ nato succesivamente il sistema  ‘Zometool’ un kit molto versatile  composto da aste e nodi e  adatto per la costruzione  di  modelli  tridimensionali  e  quadridimensionali.  Il kit e’ largamente  utilizzato da George Hart nelle dimostrazioni geometriche che fa in tutto il mondo (http://www.georgehart.com/).


Nel 2008 , durante una mia visita ai poliedri di Adriano Graziotti, ho potuto fotografare  un modello di politopo quadridimensionale costruito da un gruppo di studio pilotato da George Hart,  ed esposto  presso il Dip. di Matematica  dell’Universita’  ‘La Sapienza’  di Roma. Il modello e’ realizzato col sistema ‘Zometool’.


LA SEZIONE AUREA IN ARCHITETTURA

Le costruzioni megalitiche  di Stonehenge (3100-2200 a.C.)  rivelano la presenza della sezione aurea tra la larghezza e l’altezza delle aperture o tra un cerchio di pietra e l’altro.  Il peso e  la  pesantezza  della struttura non vengono avvertiti.

Il  sito neolitico di Stonehenge  e’ situato nella contea inglese del Wiltshire nei pressi di Amesbury.  Altri  monumenti  simili sono stati localizzati ad Avebury e a Stanton Drew  a sud dell’Inghilterra.

Circa mille anni prima di Platone delle comunita’ neolitiche scozzesi hanno prodotto degli interessanti esempi di poliedri regolari  fatti di granito e di circa tre cm. di diametro.  Alcune di queste  sfere poliedriche  sono conservate presso il museo  ‘Ashmolean’ di Oxford e sono riportate da Keith Critchlow nel suo libro ‘Time Stands Still’   (1979).

La piramide di Cheope,  una delle sette meraviglie del mondo antico, situata nella necropoli di Gizah fu completata intorno al  2570 a.C.  e rachiude  nel suo interno sia valori di pi greco che di sezione aurea.      Ha un rapporto base /altezza  pari a  circa 1,6. 

IL TEMPIO DELLA CONCORDIA (Valle dei Templi, Agrigento, 440-430 a. C.)  obbedisce alle leggi di simmetria  di molti poligoni tra cui  il quadrato  il  pentagono e il decagono  ed e’ regolato dalla presenza della sezione aurea, realizzando cosi’ una meravigliosa armonia compositiva.

Nell’architrave di facciata del Partenone di Atene (447-438 a.C.) il rettangolo aureo e’ ripetuto piu’ volte. Il Partenone contiene le stesse regole geometriche  utilizzate nel Tempio della Concordia. Progettato da Ictinio e Callicrate  il tempio (di ordine dorico) e’ dedicato alla dea Athena Parthenos la cui statua  fu posizionata  nella parte orientale della costruzione. La statua fu scolpita nell’avorio e nell’oro da Fidia , lo scultore da le cui iniziali e’ stato  poi ripreso il  phi.  Numerosi rettangoli aurei sono presenti anche nella pianta .


Anche Il Pantheon  di Roma  (27 a.C. e successive restauri) rivela la presenza del rapporto aureo.  Il tempio consacrato al culto di tutte le divinita’ ha subito molte trasformazioni nel corso degli anni, trasformandosi da tempio pagano a chiesa Cristiana.

L’arco di Costantino  (313 d.C.),  uno dei piu’ importanti archi trionfali romani ,   rivela la sezione aurea nel rapporto tra l’altezza totale e l’altezza dell’arco.  Gli stessi rapporti sono stati applicati agli altri archi.

Anche nella pianta ottagonale della splendida Basilica di San Vitale di Ravenna (540-547 d.C.) si osservano valori di sezione aurea.  La basilica  rivela  l’originalita’ della costruzione e la bellezza dei marmi, capitelli e mosaici.

La cattedrale  Notre Dame  di Parigi  (1163- 1250) rivela la presenza  di segmenti aurei nella facciata .  Inoltre  nella sua costruzione geometrica si osservano: il quadrato di partenza, le sue diagonali, il successivo rettangolo e un triangolo isoscele con sezione aurea.  Anche la facciata laterale  rivela due quadrati con relativo triangolo isoscele aureo.

Principi costruttivi simili sono stati osservati nella Cattedrale di Colonia (1248-1880) e nella Cattedrale di Chartres (XII sec.).

Castel del Monte (circa 1240), famoso esempio di architettura gotica in Puglia, dal 1996 patrimonio dell’umanita’ sulla lista dell’Unesco, rivela un portale chiaramente inscrivibile in un pentagramma.  La giusta proporzione determinata dalla presenza dei rapporti aurei (anche nella pianta), non fa pesare la passeggiata all’interno, come ci si potrebbe aspettare osservando  la  grossa mole delle pietre che lo compongono.

Nel Palazzo della Signoria di Firenze (Arnolfo Di Cambio 1240-1302 circa, Giorgio Vasari 1511-1574 )  la torre divide la linea orizzontale del ballatoio  con due segmenti aurei. 

Il  Modulor di Le Corbusier (1943), riferito agli studi  di Ghyca Matila del 1930,   e’ una griglia di misure armoniche basate sulla sezione aurea  i numeri di Fibonacci  e le proporzioni umane.   Scrive Le Corbusier: “ Il Modulor regola le lunghezze, le superfici, i volumi. Mantiene dappertutto la scala umana, prestandosi ad una infinita’ di  combinazioni, assicura l’unita’ nalla diversita, beneficio inestimabile, miracolo di numeri”. Ampiamente utilizzato dal maestro nelle sue opere, Il Modulor  ha influito sulla progettazione di  numerosi architetti tra cui  recentemente Mario Botta (casa di Ligornetto, 1975).

Piramide di Vetro di Leoh Ming Pei, inaugurata a Parigi nel 1989, come quella di Gizah e’ proporzionata in base alle leggi della sezione aurea.  Alta circa 21 m. e’ una sorta di lucernaio che copre l’entrata sotterranea del museo del Louvre, dove  trovano spazio ristoranti,negozi,  librerie.  Realizzata in alluminio, acciaio inossidabile  e losanghe di vetro, in base a Herbert Bangs , potrebbe rappresentare ‘la fine del Modernismo e  la proiezione  verso una nuova tradizione architettonica basata sulla combinazione di necessita’ archetipe della psiche umana  e  la disciplina della matematica sacra.

The Eden Project (http://www.edenproject.com/) a St Austell, a sud ovest dell’Inghilterra, ha grosse serre geodetiche chiamate biomi che ospitano un’incredibile varietà di piante provenienti da tutto il pianeta. Il tetto del centro educativo chiamato ‘The Core’ e’ stato progettato utilizzando i numeri di Fibonacci.






STRUTTURE GEODETICHE - PRECEDENTI STORICI

(Dal libro ‘Strutture geodetiche’)



Il principio dei grandi cerchi  su cui si basano tutte le strutture geodetiche    è da sempre  usato in Oriente    per la costruzione  di cesti, nasse , cappelli e altri oggetti.


In  Tailandia  esistono  ancora oggi antiche  palle da gioco (takraw balls) , ottenute dall’ opportuno  intreccio  dei grandi e piccoli cerchi del   giunco 

La struttura e’ descritta anche  sul  libro ‘Strutture Reciproche’


Un’insolita   struttura geodetica    si puo’ osservare  nella scultura del Palazzo d’Estate  di Pechino(1855),       dove un leone tiene tra le unghie una sfera geodetica.


Uno dei primi rifugi  usato dall’uomo  fu la piccola cupola intrecciata , fatta con   rami ricurvi  opportunamente collegati e  ricoperta con foglie ,  pelli di animali  e materiali locali. Simile al nido degli uccelli, era il primo concetto di riparo acquisito da numerose culture , un riparo basato sull’idea di rifugio ancestrale,  prima di essere convertito in forme piu’ permanenti e monumentali.   

Le tende  dei nomadi, spesso basate  sul modulo triangolare e sul tetraedro,  sono state usate per millenni dall’uomo.  Tra le principali ricordiamo: il tipi indiano, la yurta mongola e la yaranga siberiana.


In seguito si svilupparono due tipi principali di costruzioni emisferiche:  la cupola in legno, derivata dalla tecnologia delle costruzioni navali   e la cupola in mattone o in pietra (trullo), seguite dalle gigantesche  cupole della Roma Imperiale.



Nel 1922 a Jena in Germania, il  Dr. Walter Bauersfeld,  designer della Zeiss,  costruisce la prima cupola geodetica al mondo, fatta con  3480 aste di acciaio leggero e successivamente ricoperta

utilizzando per la prima volta  la tecnica del ferrocemento  (una tecnica   poi sfruttata da Pier Luigi Nervi in Italia  e da Felix Candela in Messico.)  La geodetica fu realizzata con la competenza e la precisione, tipici della Zeiss.   La cupola usata come planetarium  accoglieva  molte persone e mostrava  il movimento delle stelle e dei pianeti  grazie all’uso di uno speciale proiettore inventato dallo stesso Bauersfeld.  Sia la cupola che il proiettore erano basati sulla scomposizione  alternata  dell’ icosaedro .  Un  planetarium  simile a quello di Jena  (The Adler Planetarium ), fu  successivamente costruito a Chicago nel 1930.


Trenta anni dopo , nel 1954, R. B. Fuller  brevetta le  sue cupole geodetiche, basate sugli stessi principi usati  a Jena, e definite dallo stesso Fuller come come  il massimo dell’efficienza strutturale col minimo impiego del materiale costruttivo.



Dai primi oggetti poliedrici alle  recenti  scoperte  sui fullereni  la scienza ci riconferma continuamente   molte intuizioni .  E’ inevitabile l’apertura verso interconnessioni di varia  natura     visto che i poliedri  sono dovunque, sono nello spazio,  perché essi sono lo spazio.   In questo modo  assumono  la stessa valenza  sia  le antiche intuizioni di Platone  e sia  la  moderna  geometria    sinergetica   di     Fuller .









STRUTTURE GEODETICHE 

(dal libro  ‘Adriano Graziotti - Le cupole geodetiche’  a cura di Claudio Lanzi e Biagio Di Carlo,

Simmetria edizioni, 2012)


La distanza più breve tra due punti  sul  piano è chiamata linea retta. La distanza più breve tra due punti sulla  sfera è chiamata linea geodetica.

Una  linea geodetica  appartiene ad un grande cerchio (GC), cioe’ un cerchio il cui centro coincide col centro della sfera. Tutti gli altri cerchi  aventi  il centro non coincidente con il centro della sfera sono chiamati piccoli cerchi.

I primi  tentativi  di Fuller  per individuare  un metodo di suddivisione  delle geodetiche, iniziarono con gli studi sui GC.


Si definisce grande cerchio il cerchio di diametro massimo avente il centro nella sfera , tutti i restanti cerchi a raggio inferiore sono chiamati piccoli cerchi.   Le strutture geodetiche nascono dall’esatta intersezione dei grandi cerchi su una sfera.


Un esempio di grandi cerchi facili da visualizzare si ottiene per mezzo dell’ottaedro sferico, composto di soli tre grandi cerchi (gc).

Congiungendo i sei punti di contatto dei tre gc si ottiene il solido regolare.




Da questi primi esempi risulta evidente l’interrelazione tra i poliedri e le geodetiche. Infatti tutti i poliedri possono essere visti come forme geodetiche ricorrendo alla triangolazione delle facce instabili (non triangolari).

Nel caso dei solidi platonici,  Il cubo può essere triangolato , inserendo le diagonali sulle sei facce quadrate . Si puo’ osservare cosi’ la geometria di  una stella ottangola equivalente a due tetraedri compenetrati.

Proiettando il cubo triangolato sulla sfera che lo contiene (circumsfera), si ottiene un cubo sferico triangolato le cui corde (corda: segmento che unisce due punti giacenti sulla sfera) andranno a configurare i lati o spigoli della geodetica.

I valori che servono per calcolare una geodetica sono chiamati  fattori di corda o piu’ semplicemente  fattori corda e vengono riportati su tabelle. Per poter visualizzare una geodetica basta  fare riferimento  al suo poliedro principale (PP) e calcolare la frequenza di divisioni che si osserva su una faccia triangolare.


Tre dei cinque solidi platonici e cioe’ il tetraedro l’ottaedro e l’icosaedro  sono interamente triangolati e percio’ piu’ stabili rispetto agli altri due, cioe’ il cubo e  il dodecaedro.  L’icosaedro e’ il poliedro che si avvicina maggiormente alla sfera e quindi e’ adatto per  essere considerato come poliedro principale ai fini della scomposizione geodetica.  Le facce triangolari dell’icosaedro possono essere suddivise in base a 2 metodi principali:  la scomposizione alternata (SA) e la scomposizione triacona (ST).








SCOMPOSIZIONI  PRINCIPALI


Una struttura geodetica può essere considerata come la tensione di un poliedro qualsiasi verso la sfera. Considerando a frequenza uno  la faccia del PP, si definisce frequenza il numero di divisioni operate su una faccia del PP. Più alto è il numero di divisioni, più ci si approssima alla sfera. La frequenza di divisioni viene indicata col simbolo ‘v’ così scelto perché simile al triangolo.



Esistono due metodi principali di divisione :


· SCOMPOSIZIONE ALTERNATA (SA). Una faccia del poliedro principale (in genere viene scelto l’icosaedro) contiene tutte le informazioni relative ai moduli di divisione. Il procedimento è esteso a tutto il poliedro.


· SCOMPOSIZIONE TRIACONA (S T ). A differenza della SA la ST determina solo frequenze pari, perché l’asse centrale divide il triangolo considerato in multipli di due. La ST è riferita al triacontaedro.



Edward  Popko aggiunge un terzo tipo di scomposizione  a  quelle gia‘ descritte e cioe‘  la scomposizione    ESAPENTAGONALE  

(derivata dalla scomposizione alternata mettendo in evidenza gli esagoni e i pentagoni sulla  griglia triangolare)       (fig...)





IL METODO ESAPENTAGONALE DI  ADRIANO GRAZIOTTI


Le geodetiche di Graziotti derivano dalla scomposizione esapentagonale dell’icosaedro cioe’ dalla troncatura ai vertici dell’icosaedro e tenendo sempre in mente il principio della dualita’. L’ICOSAEDRO TRONCO e’ il poliedro che Graziotti ottiene partendo da una delle proiezioni ortogonali dell’icosaedro. (Questo poliedro e’ uno dei 13  poliedri semiregolari  di Archimede recentemente rinominato anche Buckminsterfullerene o fullerene in omaggio a Fuller)

Nel ‘Metodo  Graziotti’  I 30 spigoli dell’icosaedro sono divisi in 3 parti uguali e congiungendo i punti ottenuti con delle linee rette si ottiene l’icosaedro tronco con 12 facce pentagonali e 20 facce esagonali.

Tenendo  invariato il numero delle facce pentagonali a 12, e’ possibile aumentare il numero delle facce esagonali ottenendo cosi’ delle geodetiche esapentagonali  a frequenze di  scomposizione diverse.      



Il duale dell’icosaedro tronco e’ il dodecaedro pentakis  che somiglia ad un dodecaedro triangolato.  Le facce dell’icosedro tronco possono  essere triangolate  per ottenere  una struttura geodetica Icosa Alternata 3v.


Un mio  studio relativo  alla corrispondenza tra  dodecaedro  pentakis  - icosedro tronco - icosa alt 3v  e’ stato pubblicato sulla rivista americana DOME MAGAZINE, Winter 1988-1989  all’interno dell’articolo ‘SYNERGETIC GEOMETRY AND THE NEW CARBON SCIENCE’. 


Il principio della dualita’ si puo’ applicare a sua volta all’Icosa alt 3v ottenendo  quello che Graziotti indica con 5,6,6,5 (pentagono, esagono, esagono, pentagono) equivalente  alla scomposizione triacona di  Fuller. 


Per poter  richiamare alla mente  le due scomposizioni proposte da Fuller e’ utile pensare  alla scomposizione triacona  come se fosse un dodecaedro  da triangolare  (dodecaedro pentakis) e  immaginare la scomposizione alternata   come se fosse un icosadodecaedro da triangolare.



VANTAGGI E SVANTAGGI TRA LE DUE SCOMPOSIZIONI


SCOMPOSIZIONE  TRIACONA


VANTAGGI


1. minimo numero di componenti diversi

2. la simmetria  esistente  nelle  facce adiacenti rende piu’  facile la combinazione in diamanti (o rombi)


SVANTAGGI


1. maggiore variazione nella lunghezza delle aste rispetto alla SA

2. I GC non sono completamente delineati   dallo schema strutturale come per es  il cerchio equatoriale ottenibile  sui numeri pari  della SA

3. Le freq devono essere sempre in numeri pari e percio’ si crea una scala meno graduata rispetto alla  SA.




I vantaggi della ST sono piu’ evidenti alle alte frequenze (cupole di 30 m di diametro in poi).  Per es una struttura 8v avra’  8 differenti lunghezze di asta , 15 condizioni angolari ai vertici e 4 facce differenti.





SCOMPOSIZIONE  ALTERNATA


VANTAGGI


variazione minima nella lunghezza dei membri e ad eccezione di giunti pentagonali, minori variazioni negli angoli di faccia

Un equatore continuo e’ delineato nelle frequenze pari.  

    Si ottiene cosi’ l’emisfero  senza dover troncare le aste alla base.

Si  hanno frequenze sia pari che dispari . E’ disponibile una maggiore variazione graduale  nella  scala di scomposizione.


SVANTAGGI


Il numero di componenti diversi in relazione alla frequenza aumenta  su una scala geometrica. Nelle freq da 6  a 8 in poi  questo  numero  diventa considerevolmente + grande  rispetto alle frequenze  equivalenti della ST. Questo numero  puo’ esssere ridotto .   Per es una geodetica  4v  ha

5 lunghezze d’asta,  6 facce diverse e 4 vertici. Con una leggera distorsione  dello schema questo numero  puo’ essere ridotto a 4 in ciascun caso.




GENESI DELLE CUPOLE GEODETICHE

La cartografia di Fuller



La genesi delle  cupole geodetiche  va ricollegata all’interesse  principale di Fuller  che era quello  di comprendere  l’ordine dell’universo.  RB Fuller, premio Nobel per la pace, Leonardo da Vinci dei nostri tempi,  fu’ un convinto  autodidatta che incoraggio’ l’iniziativa personale  sostenendo che l’uomo puo’ riuscire benissimo anche pilotando da solo e  facendo affidamento sulle proprie capacita’ personali. (Fuller riusciva a servirsi delle universita’ in cui era invitato come  se fossero laboratori decentrati  di ricerca e di sperimentazione a sua completa disposizione).



Nel 1944 Fuller brevetta un metodo di proiezione  che porta alla scomposizione di una sfera (la terra) verso una superficie planare (la mappa bidimensionale) e utilizza il cubottaedro, da lui rinominato dymaxion.  Sul piano i quadrati sono stati suddivisi in un grigliato rettilineo a 90 gradi. Prolungando la griglia quadrata verso i triangoli ogni triangolo assume un grigliato tridirezionale.  Fuller chiama questo metodo  GRIGLIA  REGOLARE  ed e’ la prima griglia geodetica sviluppata da Fuller.               fig ..............


Fuller segnava dei punti ad intervalli uguali su  ciascun lato e poi tracciava circonferenze massime perpendicolari ai lati stessi.


La GR genera 31 GC ma in seguito risulto’ poco efficiente perche’ presentava grosse differenze tra i membri + lunghi e quelli + corti.

La  griglia alternata   presenta invece moduli   poco diversi tra loro.


Uno dei primi modelli di sfera geodetica e’ la sfera di circa m 1.50 con stecche fatte di tende veneziane   larghe  5 cm  realizzata al Black Mountain College. 


L’idea di un planisferio a base poliedrica non era nata  solo nella mente di F ma risale  per es. anche a Durer in un suo lavoro del 1525.


Il PLANISFERIO DYMAXION fu una tappa fondamentale per F che lo porto‘  nel 1944 alla definizione della  geometria  ENERGETICA-SINERGETICA.


Dymaxion: Proiezione  della superficie sferica su una superficie piatta senza distorsioni evidenti.


LA FORMA CUBOTTAEDRICA della ‘DYMAXION AIR OCEAN WORLD MAP‘  del  1943 offriva a F una base di partenza per le successive indagini sulle proprieta’ di riempimento dello spazio e sulla stabilita’ strutturale della forma,  che combinava tetraedri e ottaedri.


Il problema fondamentale della cartografia e’ di rappresentare una superficie tridimensionale su un piano bidimensionale  con la minima   distorsione possibile.

Le carte che hanno preceduto la Dymaxion World Map : azimutali polari, policoniche e Mercatore  contengono tutte una grandissima distorsione.


LA PROIEZIONE  del cartografo fiammingo  GERARDUS MERCATOR  (Gerardo Mercatore, italianizzato) del  1569  e’ rimasta la  principale rappresentazione  della superficie  sferica della terra  su di un piano,  ma  produce  distorsioni grossolane  mano a mano che ci si avvicina ai poli, infatti vengono esagerate  le dimensioni delle aree lontane dall'equatore.

La proiezione di Mercatore è ancora  oggi e’ usata per quelle aree vicino all'equatore dove la distorsione è minima.


Per es. la Groenlandia sembra avere quasi le stesse dimensioni dell’Africa, di cui in realta’ e’ circa 1/13.


Questo tipo di proiezione si ottiene inserendo la terra in un cilindro tangente all’Equatore e proiettando  dal centro della terra  tutti i punti della superficie terrestre sulla superficie del cilindro .  Una volta aperto il cilindro praticamente abbiamo riportato su di un piano una supeficie sferica


I paralleli, che nella realtà sono paralleli ed equidistanti , sulla carta di Mercatore rimangono   paralleli ma non equidistanti.


Su questa proiezione infatti  i paralleli allontanandosi dall'equatore tendono ad aumentare la loro distanza in maniera esponenziale.

Per questo motivo al di sopra di certe latitudini ( 65° / 70° di Latitudine Nord o Sud ) la carta distorcerebbe la rappresentazione della superficie terrestre in maniera troppo elevata rendendo impossibile il suo utilizzo.











BIBLIOGRAFIA   di    BIAGIO DI CARLO


Riviste di architettura,  nazionali ed internazionali:  

Dome Magazine, Bioarchitettura, l’Architettura Naturale, Spazio Architettura, Nexus Network Journal,

ZRalt


Libri:


POLIEDRI

POLIEDRI E SEZIONE AUREA

STRUTTURE GEODETICHE

STRUTTURE  GEODETICHE ELLISSOIDICHE

TENSEGRITY WORLD (con presentazione di Kenneth Snelson)

LE COPERTURE LIGNEE DI LEONARDO E LA NUOVA RICERCA STRUTTURALE

STRUTTURE E SCIENZA DEL DESIGN

STRUTTURE RECIPROCHE E GEOMETRIA SINERGETICA (con presentazione di Olga Popovic Larsen)

LA CUPOLA DI TLAMAYA E ALTRE STRUTTURE ELLISSOIDICHE

LA CUPULA DE TLAMAYA (in spagnolo)

LE CUPOLE GEODETICHE DI ADRIANO GRAZIOTTI ( in collaborazione con l’ing. Claudio Lanzi)

POLYHEDRA (in collaborazione con Claudio Lanzi e con il prof.  Silvio Maracchia)

RECIPROCAL FRAMES (in inglese)